tra gli ombrelloni

[delfo52]

piccolo aneddoto da spiaggia. Ho notato che alcuni stabilimenti hanno ombrelloni a 12 spicchi, altri a otto, uno (piuttosto snob) ha ombrelli a quattro.
Assumendo che la lunghezza delle stecche sia la stessa, osservo che tra 8 e 12 non fa tanta differenza: il poligono iscritto alla circonferenza di raggio pari alla stecca è molto simile al cerchio stesso.
Ma con solo quattro… la differenza si vede.
Mi sono chiesto: quanto è differente? (sorvolo sul fatto che l'ombrellone sia "a cupola, e mi concentro sulla proiezione: non mi barcameno con le geometrie non euclidee…).
Non che sia un problema di grande difficoltà, ma mi piace raccontarvi come ho affrontato il calcolo senza nemmeno fermarmi a scrivere col dito sulla sabbia, come Archimede a Siracusa…
Ovviamente, ognuno ha i suoi percorsi mentali.
Ho assunto come misura del raggio non 1, ma radicedi2.
Così il quadrato iscritto ha lato 2 e area 4.
Su ogni lato, passando da 4 a otto lati per il poligono iscritto, si forma un triangolo isoscele con base 2 e altezza redicedi2 meno 1. La superficie è pertanto 0,4142... Moltiplicato per 4 = 1,65 circa