Carino.

[Bruno]

Da un social.

Se $\,a\,$ e $\,b\,$ sono interi, trovare il numero complesso

$z=a+b\cdot i$

sapendo che

$z^5 = - 9411916+5238788\cdot i$

e

$4\cdot a+3\cdot b \,\equiv\, 25 \pmod {53}$.

[Quelo]

Il primo istinto è quello di fare la radice quinta di $z^5$

In mancanza di uno strumento adeguato, vado per tentativi:

Il primo istinto è quello di ignorare il modulo 53
$4a+3b=25$; $\displaystyle b=\frac{25-4a}{3}$

$(a+ \imath\,b)^5=(a^5-10\,a^3\,b^2+5\,a\,b^4)+\imath\,(b^5-10\,b^3\,a^2+5\,b\,a^4)$

$a^5-10\,a^3\,b^2+5\,a\,b^4=-9411916$

$b^5-10\,b^3\,a^2+5\,b\,a^4=5238788$

Parto da $a=1$ e aumento di 3
$a=19$
$b=-17$

In alternativa (l'ultima delle 5 radici)
$\sqrt[5]{-9411916+5238788\imath }$

[Gianfranco]

Io ho calcolato senza molta fantasia le 5 radici del numero complesso usando "regoletta" di De Moivre, studiata a "squola".
Quattro di esse sono incasinate e ce n'é solo una con parti intere che, guarda caso, soddisfa la seconda condizione della domanda.
E' la soluzione indicata da Quelo.
Quindi, la seconda condizione serve principalmente per facilitare la ricerca con metodi alternativi.

Per esempio, partendo dalle uguaglianze di Quelo e procedendo per istinto:
$a\, \left( 5 {{b}^{4}}-10 {{a}^{2}} {{b}^{2}}+{{a}^{4}}\right) =-4\cdot19\cdot 59\cdot 2099$
$b\, \left( {{b}^{4}}-10 {{a}^{2}} {{b}^{2}}+5 {{a}^{4}}\right) =4\cdot17 \cdot77041$

Quindi, potrei azzardare che
$a=\pm 19$
$b= \pm 17$

Facendo qualche stima sui "segni", i due valori buoni sono:
$a= 19$
$b= -17$

Ma questa è una soluzione campata per aria, sapendo già il risultato.

[Bruno]

Bene.

L'istinto è importante, certo, e gli opportuni tentativi sono pure importanti

L'alternativa con Wolfram Alpha, be'... meglio sorvolare.

Questo problemino può essere approcciato anche in altri modi, comunque, quello $\, z^5 \,$ ha particolari caratteristiche.

[Gianfranco]

...quello $\, z^5 \,$ ha particolari caratteristiche.

Anche questo ha caratteristiche simili a quelle di cui parli?
${{z}^{5}}=114212-359084 \ i$

Qual è la radice che ha parte reale e parte immaginaria intere?

Oppure:

Qual è la radice $a + b i$ per cui:
$2a+3b=47 \pmod {101}$?

[Bruno]

Anche questo ha caratteristiche simili a quelle di cui parli?
${{z}^{5}}=114212-359084 \ i$

Proprio così

[Gianfranco]

Beh, nell'esercizio che ho proposto, la vedo così (ma sempre usando il buon De Moivre):

a) la soluzione è un punto P a coordinate intere che deve stare sulla circonferenza $x^2+y^2=170$
- quindi il valore massimo di x,y è 13
- una soluzione è 13,1 ma non soddisfa l'altra relazione
- per trovare un'altra soluzione uso la seconda relazione

b) le coordinate della soluzione devono essere tali che: $2x+3y=47$ (azzardata)
- dato che il valore massimo delle incognite è 13 e che y deve essere dispari, provo:
y = 11, x = 7 toh, è giusta
y = 9, x = 10 no
etc...

Per quel che riguarda il tuo problema, direi
a) la soluzione è un punto P a coordinate intere che deve stare sulla circonferenza $x^2+y^2=650$
- quindi il valore massimo di x,y è 25
- quindi, seguendo lo stesso procedimento visto sopra, devo esaminare solo i casi:
25,5
23,11
19,17
e poi adattare i segni alla seconda relazione.

[Bruno]

Benissimo, Gianfranco, è un buon metodo

[Bruno]

Gianfranco, potrei trattare il tuo problema anche in questi termini.
Ho:
114212² + 359084² = (114212 - 359084·i)·(114212 + 359084·i),
114212² + 359084² = 2⁵·5⁵·17⁵ = [(1-i)·(1+i)]⁵·[(1-2·i)·(1+2·i)]⁵·[(1-4·i)·(1+4·i)]⁵.
Con qualche calcolo, trovo che:
114212 - 359084·i
è divisibile per 1-2·i, mentre 1+2·i divide 114212 + 359084·i.
Similmente, trovo che:
114212 - 359084·i
è divisibile per 1+4·i e così 1-4·i divide 114212 + 359084·i.
Quindi:
(1-2·i)⁵·(1+4·i)⁵
divide
114212 - 359084·i
e il quoziente è:
-4·(1+i) = (1+i)⁵.
Perciò, se:
z⁵ = 114212 - 359084·i = (1+i)⁵·(1-2·i)⁵·(1+4·i)⁵ = (-i)⁵·(1+i)⁵·(2+i)⁵·(1+4·i)⁵,
allora:
z = -i·(1+i)·(2+i)·(1+4·i) = 7+11·i.
Infatti: (7+11·i)⁵ = 114212 - 359084·i.
Vedo, infine, che è soddisfatta anche la congruenza (che non ho utilizzato):
2·7+3·11 = 47.