Vi sottopongo un semplice problema di combinatoria che ho già risolto. Sono curioso di vedere in che modo lo risolverete perché, secondo me, il testo può trarre in inganno. Ecco a voi:

In un mazzo di carte da poker (52 carte con 4 semi) calcolare:
-il numero di modi in cui un giocatore può ricevere una mano di carte tra loro tutte diverse in valore.
-Quanti sono poi i modi in cui tutti e quattro i giocatori ricevono carte tutte differenti in valore?

Colgo di nuovo l'occasione di salutare tutti perché sono iscritto da poco.

null ha scritto:In un mazzo di carte da poker (52 carte con 4 semi) calcolare:
-il numero di modi in cui un giocatore può ricevere una mano di carte tra loro tutte diverse in valore.

Lancio una soluzione alla prima domanda.
Prendiamo le 13 carte di un solo seme, per es. cuori, che hanno tutte valori diversi.
Le combinazioni senza ripetizione di queste 13 carte a gruppi di 5 sono 1287.
Per ognuna di queste combinazioni, la prima carta può capitare in 4 modi diversi, uno per ogni seme.
Così pure la seconda carta e le altre tre.
Perciò, con un mazzo di 52 carte, le possibili mani di 5 carte tra loro tutte diverse in valore sono:
1287*4*4*4*4*4 = 1 317 888
Salvo errori e omissioni.

Per il primo quesito ci sono altre due alternative, ricavabili da questa discussione Calcolo probabilità
1. La probabilità che le prime cinque carte estratte siano differenti è $\Large\frac{48}{51}\cdot\frac{44}{50}\cdot\frac{40}{49}\cdot\frac{36}{48}$ che su un totale di 2.598.960 fa appunto 1.317.888
2. In un mazzo di 52 carte ci sono: 1.098.240 coppie, 123.552 doppie coppie, 54.912 tris, 3.744 full e 674 poker e di conseguenza 1.317.888 combinazioni di carte di valore diverso.

vedo che tutti hanno interpretato la domanda dando per scontato che le "mani" fossero gruppi di cinque carte.
Dove è scritto?
io avevo inteso trattarsi di "mani" da 13 carte. (ah,...il giocatore di bridge!)

La domanda si riferisce ad un mazzo di carte da poker, per cui si presume che una mano preveda le classiche 5 carte, anche se adesso vanno di moda varianti in cui ogni giocatore riceve 2 carte e poi ce ne sono 3 in comune a tutti i giocatori.

Anch'io ho pensato automaticamente alle mani da 5 carte, perché non conosco il bridge. L'unico gioco che conosco con mani da 13 carte è scala 40, ma di solito uso 2 mazzi da poker più 4 jolly.

Nel caso le mani siano da 5 carte, lancio la risposta alla seconda domanda.

Quanti sono poi i modi in cui tutti e quattro i giocatori ricevono carte tutte differenti in valore?

Abbiamo appurato che le mani possibili sono 1 317 888.
Quante sono le possibili quaterne di queste mani?
Sono le combinazioni senza ripetizione di 1 317 888 elementi a gruppi di 4.
In tutto fanno: 125 690 019 969 592 317 507 840 possibilità. Urka!
Salvo errori e omissioni.

Osservazioni inserite il 1 settembre.
Urka!, dicevo. Mi sembrano troppe. C'è qualcosa che non va. Le mani non sono insiemi disgiunti.

Se invece le mani fossero da 13 carte, ...

delfo52 ha scritto:vedo che tutti hanno interpretato la domanda dando per scontato che le "mani" fossero gruppi di cinque carte.
Dove è scritto?
io avevo inteso trattarsi di "mani" da 13 carte. (ah,...il giocatore di bridge!)

Delfo52 ha ragione, ho copiato male il testo scrivendo "carte da poker" invece che "carte da bridge" non pensando alla differenza. Il resto è copiato bene. Comunque non è tanto importante il numero di carte che devono essere diverse quanto il modo di considerarle.
L' "inganno" a cui accennavo nel primo post si riferiva alla possibilità di calcolare il numero di modi di:
1-"avere in mano" 5 carte in valore diverso (quindi senza considerare l'ordine con cui sono state ricevute)
2-"ricevere" 5 carte in valore diverso (quindi considerando l'ordine con cui si ricevono).

Il caso 1 è stato esaurientemente risolto già nel primo post di Gianfranco.
(prodotto tra 4^5 e coefficiente binomiale di 13 su 5)

Il caso 2 da Quelo nel post successivo:

-prima carta: 52 possibilità
-seconda carta: 48 possibilità
-terza carta: 44 possibilità
-quarta carta: 40 possibilità
-quinta carta: 36 possibilità
=52*48*44*40*36=4^5*(13*12*11*10*9)=
prodotto di 4^5 per il numero di disposizioni semplici di 5 carte su un insieme di 13 carte.

Se ora si volesse calcolare la probabilità, come giustamente faceva notare Quelo, dividendo in ognuno dei due modi di procedere il numero di casi favorevoli per il numero di casi totali, si avrebbe:

1° caso:(num. casi totali)= numero di insiemi di 5 carte su 52 carte=coeff.binomiale di 52 su 5
2° caso: (num. casi totali)=52*51*50*49*48 (prodotto tra il numero di possibilità che ci sono per ognuna delle 5 carte)

Si otterrebbe lo steso risultato, cioè circa 0.507.

Tornando alla questione originale dell' "inganno" (parola un po' infelice ma non mi è venuto in mente niente di meglio) voi quale delle due strade avreste seguito? è un quesito di combinatoria, non di probabilità, e i due risultati sono (molto) diversi!

Grazie Null e benvenuto.

Il 2° quesito mi pare meno semplice: una volta distribuite le prime 5 carte, delle combinazioni diverse esistenti, compresa quella distribuita, se ne partono 781 delle 1024 collegate e restano 47 carte da distribuire.

Sì per il secondo la questione si complica un po':
nell'esercizio che avevo svolto io si trattava di tutte le 13 carte in valore diverso, quindi non bisognava considerare i possibili sottoinsiemi delle 13 carte.
Seguendo la stessa logica mi verrebbe da dire: (però è da controllare, a primo acchitto mi sembra sensato)

Abbiamo di nuovo 2 strade:

1° CASO (carte che un giocatore può avere in mano):

PRIMO GIOCATORE: 4^5*1287=1317888 (come già visto)

SECONDO GIOCATORE
delle 1287 diverse combinazioni di 5 carte diverse (coeff. binomiale di 13 su 5) ci sono:
-3 modi di scegliere la prima (i 3 semi rimanenti)
-3 di scegliere la seconda
-3 di scegliere la terza
-3 di scegliere la quarta
-3 di scegliere la quinta
perciò il totale è 3^5*1287= 312741

TERZO GIOCATORE
-2 modi per ogni carta:
totale 2^5*1287=41184

QUARTO GIOCATORE:
-1 modo per ogni carta
1^5*1287=1287

La totalità dei modi è data quindi dal prodotto di questi:
sia 1287=(coeff. binom. di 13 su 5)=X
X^4(4^5*3^5*2^5*1)=X^4*(4!)^5= (numero decisamente troppo grande da scrivere!)


2° CASO (modi di ricevere le carte diverse, quindi ordine)

PRIMO GIOCATORE:
52*48*44*40*36 (come già visto)

SECONDO GIOCATORE:
-prima carta: il numero di carte meno le 5 già date al primo: 52-5=47
-seconda carta: 46 carte rimanenti meno le altre 2 di uguale valore: 46-2=44
-terza carta: 43 carte rimanenti meno le altre 2 di uguale valore: 43-2=41
-quarta carta: 40 rimanenti meno le altre 2 di uguale valore: 38
-quinta carta: 37 rimanenti meno le altre 2 di uguale valore: 35

perciò in tutto le combinazioni sono:
47*44*41*38*35

TERZO GIOCATORE:
stesso discorso, il totale è:
42*40*38*36*34

QUARTO GIOCATORE:
totale: 37*36*35*34*33

La totalità dei modi di darle è il prodotto tra questi: (riordinando i fattori in modo decrescente)

52*48*47*44*44*42*41*40*40*38*38*37*36*36*36*35*35*34*34*33
(non vedo nessuno schema particolare in questo prodotto, anche se probabilmente si riesce a trovarlo, ma al momento non ne ho il tempo)

Ripeto che ho risolto l'esercizio in questo modo per il modo di dare le carte nel bridge, quindi 13 per ogni giocatore, e che non sono sicuro della soluzione in questo caso ma mi sembra ragionevole

Per rispondere alla seconda domanda (sempre nell'ambito delle carte da Poker) osserviamo più da vicino la prima risposta.

Per scegliere la prima carta abbiamo $52$ possibilità, per la seconda $48$, per la terza $44$ e così via: quindi, i modi di ricevere cinque carte diverse (in un dato ordine) sono

$52\/\times\/48\/\times\/44\/\times\/40\/\times\/36\/=\/4^{\script 5}\/\times\/13\/\times\/12\/\times\/11\/\times\/10\/\times\/9\/=\/4^{\script 5}\/\frac{13!}{8!}\/=\/5!\/{13\choose 5}\/4^{\script 5}$

Ma noi non siamo interessati all'ordine, e poiché cinque carte possono essere ordinate in $5!$ modi diversi, ecco che ritroviamo il nostro ${13\choose 5}\/4^{\script 5}$

Supponiamo ora di usare un vecchio mazzo al quale mancano alcune carte. Evidentemente i tredici diversi valori non saranno più indistinguibili essendo diverse le numerosità di ciascuno di essi: tali numerosità andranno da zero a quattro, vi saranno quindi cinque possibilità e, potenzialmente, cinque gruppi distinguibili di valori.
Per esempio, potrebbero mancare all'appello il due di quadri, il cinque e il nove di picche e i fanti di cuori e di fiori: il mazzo sarebbe quindi formato di un doppietto, tre tripletti e nove quadrupletti.
Qualunque mazzo può essere rappresentato con la quintupla di numeri $q$, $t$, $d$, $s$ e $n$, rispettivamente il numero di quadrupletti, di tripletti, di doppietti, di singoletti e di nihiletti (gruppi di zero carte).
Per descrivere il mazzo possiamo utilizzare la rappresentazione "monomiale" $Q^{\script q}T^{\script t}D^{\script d}S^{\script s}N^{\script n}$: la rappresentazione di un mazzo integro è $Q^{\script 13}T^{\script 0}D^{\script 0}S^{\script 0}N^{\script 0}$ o, più sempicemente, $Q^{\script 13}$; la rappresentazione del mazzo che rimane dopo che il primo giocatore ha ricevuto le sue cinque carte diverse è $Q^{\script 8}T^{\script 5}$ mentre quella del vecchio mazzo dell'esempio precedente è $Q^{\script 9}T^{\script 3}D$.
Osserviamo che il grado del monomio è sempre $13$.
Inoltre, dato che ciascun giocatore riceve tutte carte diverse e ci sono quattro giocatori, non dobbiamo preoccuparci dei nihiletti, che possono comparire solo dopo che la distribuzione delle carte è finita: profittiamo di questo fatto per modificare la notazione utilizzando la nomenclatura del gioco del Poker:

$\begin{array}{c50l100|c50l100C+25} & {\text vecchia} & & {\text nuova}\\ \hline Q & {\text quadrupletto} & p & {\text poker}\\ T & {\text tripletto} & t & {\text tris}\\ D & {\text doppietto} & c & {\text coppia}\\ S & {\text singoletto} & s & {\text spaiata}\\ N & {\text nihiletto} & & {\text } \end{array}$

I mazzi di cui sopra diventano $p^{\script 13}$, $p^{\script 8}t^{\script 3}$ e $p^{\script 9}t^{\script 3}c$.
Utilizziamo la stessa notazione anche per descrivere le mani di carte distribuite ai giocatori con la differenza che $p$ rappresenta le carte prese da un poker, $t$ le carte prese da un tris ecc.
La distribuzione delle carte al primo giocatore sarà quindi rappresentata da

$p^{\script 13}\/\longrightarrow[100]^{{\normalsize p}^{\script 5}}\/p^{\script 8}t^{\script 5}$

o, più precisamente, da

$p^{\script 13}t^{\script 0}c^{\script 0}s^{\script 0}\/\longrightarrow[100]^{{\normalsize p}^{\script 5}{\normalsize t}^{\script 0}{\normalsize c}^{\script 0}{\normalsize s}^{\script 0}}\/p^{\script 8}t^{\script 5}c^{\script 0}s^{\script 0}$.

Cosa succede nella distribuzione delle carte al secondo giocatore? Abbiamo a disposizione otto poker e cinque tris quindi le mani possibili sono $p^{\script 5}$, $p^{\script 4}t$, $p^{\script 3}t^{\script 2}$, $p^{\script 2}t^{\script 3}$, $pt^{\script 4}$ e $t^{\script 5}$.
Osserviamo che qui il grado del monomio è sempre cinque.
Prendiamo ad esempio la mano $p^{\script 2}t^{\script 3}$: quanti modi ci sono per ottenerla? Peschiamo due volte da otto poker, e ciò può essere fatto in ${8 \choose 2}\/4^{\script 2}$ modi diversi, e tre da cinque tris, il che può essere fatto in ${5 \choose 3}\/3^{\script 3}$ modi diversi: questi modi sono indipendenti perché i valori dei tris e quelli dei poker sono diversi, quindi i modi cercati sono

$F\left(p^{\script 2}t^{\script 3}\/\middle|\/p^{\script 8}t^{\script 5}\right)\/=\/{8 \choose 2}\/4^{\script 2}{5 \choose 3}\/3^{\script 3}$

Per essere pignoli la rappresentazione completa sarebbe

$F\left(p^{\script 2}t^{\script 3}c^{\script 0}s^{\script 0}\/\middle|\/p^{\script 8}t^{\script 5}c^{\script 0}s^{\script 0}\right)\/=\/{8 \choose 2}\/4^{\script 2}{5 \choose 3}\/3^{\script 3}{0 \choose 0}2^{\script 0}{0 \choose 0}1^{\script 0}$

Qual è la composizione del mazzo che rimane dopo la distribuzione della mano $p^{\script 2}t^{\script 3}$?
Schematicamente

$\begin{array}{cC+80} p^{\script 8} & \longrightarrow[100]_{{8 \choose 2}\/4^{\script 2}}^{{\normalsize p}^{\script 2}} & p^{\script 6}t^{\script 2} \\ t^{\script 5} & \longrightarrow[100]_{{5 \choose 3}\/3^{\script 3}}^{{\normalsize t}^{\script 3}} & t^{\script 2}c^{\script 3} \\ \hline p^{\script 8}t^{\script 5} & \longrightarrow[100]_{{8 \choose 2}\/4^{\script 2}{5 \choose 3}\/3^{\script 3}}^{{\normalsize p}^{\script 2}{\normalsize t}^{\script 3}} & p^{\script 6}t^{\script 4}c^{\script 3} \end{array}$

Ecco ora un esempio di distribuzione completa

$p^{\script 13}\qquad\longrightarrow[120]_{{13 \choose 5}\/4^{\script 5}}^{{\normalsize p}^{\script 5}}\qquad p^{\script 8}t^{\script 5}\qquad\longrightarrow[120]_{{8 \choose 2}\/4^{\script 2}{5 \choose 3}\/3^{\script 3}}^{{\normalsize p}^{\script 2}{\normalsize t}^{\script 3}}\qquad p^{\script 6}t^{\script 4}c^{\script 3}\qquad\longrightarrow[120]_{{6\choose 1}\/4{4 \choose 2}\/3^{\script 2}{3 \choose 2}\/2^{\script 2}}^{{\normalsize pt}^{\script 2}{\normalsize c}^{\script 2}}\qquad p^{\script 5}t^{\script 3}c^{\script 3}\/s^{\script 2}\qquad\longrightarrow[120]_{ {5 \choose 2}\/4^{\script 2}{3 \choose 1}\/2^{\script 1}{2 \choose 2}\/1^{\script 2}}^{{\normalsize p}^{\script 2}{\normalsize cs}^{\script 2}}$

(la composizione del mazzo residuo non ci interessa)

Naturalmente bisogna elencare tutte le possibili mani: per i primi due giocatori

$\begin{array}{c40cc40cC} p^{\script 13} & \longrightarrow[120]_{{13 \choose 5}\/4^{\script 5}}^{p^{\script 5}} & p^{\script 8}t^{\script 5} & \begin{array}{cc50C+80} \longrightarrow[120]_{{8 \choose 5}\/4^{\script 5}}^{p^{\script 5}} & p^{\script 3}t^{\script 10} \\ \longrightarrow[120]_{{8 \choose 4}\/4^{\script 4}{5 \choose 1}\/3}^{ p^{\script 4}t} & p^{\script 4}t^{\script 8}c \\ \longrightarrow[120]_{{8 \choose 3}\/4^{\script 3}{5 \choose 2}\/3^{\script 2}}^{ p^{\script 3}t^{\script 2}} & p^{\script 5}t^{\script 6} c^{\script 2} \\ \longrightarrow[120]_{{8 \choose 2}\/4^{\script 2}{5 \choose 3}\/3^{\script 3}}^{ p^{\script 2}t^{\script 3}} & p^{\script 6}t^{\script 4}c^{\script 3} \\ \longrightarrow[120]_{{8 \choose 1}\/4{5 \choose 4}\/3^{\script 4}}^{ pt^{\script 4}} & p^{\script 7}t^{\script 2}c^{\script 4} \\ \longrightarrow[120]_{{5 \choose 5}\/3^{\script 5}}^{t^{\script 5}} & p^{\script 8}c^{\script 5} \end{array}\end{array}$

In questo modo, con tempo e pazienza, è possibile esplorare l’albero delle possibilità e calcolare il risultato voluto.

Ahimè! Di pazienza me ne è rimasta ben poca e di tempo quasi niente del tutto.

Per fortuna questo schema può essere utlizzato per programmare un computer e far fare i conti a lui. Naturalmente serve un software in grado di fare i calcoli con l’aritmetica esatta (per esempio, Excel è fuori discussione).
Impostando il programma su Mathematica (se siete interessati posso postarlo) ottengo $700163647380398399717376$.

Questo schema può essere facilmente generalizzato, per esempio variando il numero di carte distribuite a ciascun giocatore: la distribuzione di tredici carte diverse a quattro giocatori è banale

$p^{\script 13}\qquad\longrightarrow[120]_{{13 \choose 13}\/4^{\script 13}}^{{\normalsize p}^{\script 13}}\qquad t^{\script 13}\qquad\longrightarrow[120]_{{13 \choose 13}\/3^{\script 13}}^{{\normalsize t}^{\script 13}}\qquad c^{\script 13}\qquad\longrightarrow[120]_{{13 \choose 13}\/2^{\script 13}}^{{\normalsize c}^{\script 13}}\qquad s^{\script 13}\qquad\longrightarrow[120]_{{13 \choose 13}\/1^{\script 13}}^{{\normalsize s}^{\script 13}}$

e il numero cercato è $24^{\script 13}\/=\/876488338465357824$.