Dopo una lunga latitanza (vabbè, visto l'esempio che in questi giorni primeggia sui giornali, direi che posso comunque essere considerato come un o-piccolo di latitante) rieccomi sul forum!
Ovviamente, al modo dei lontani parenti che senti solo quando hanno bisogno di un prestito o di farsi portare in qualche posto, propongo una domanda di analisi II, prossimo esame che dovrò affrontare.
Premetto che, scorrendo gli esercizi degli esami passati, questo argomento non è praticamente mai richiesto. La cosa è però appassionante e sono ormai 4 giorni che ci sudo sopra senza riuscire a cavare niente di utile...
Dunque, ho cercato in tutti i libri che avevo a vista (Bononcini, Ricci, Iaquinta...), ma non sono riuscito a capire come trasformare il potente formalismo indicante la formula di Taylor per una generica funzione a n variabili, in un qualcosa di pratico che permettesse di risolvere gli esercizi (per altro praticamente inesistenti al riguardo e senza soluzioni). Il formalismo in questione, presenta le derivate parziali della funzione rispetto tutte le sue variabili elevate ad un indice generico h. Una nota "precisa" che si tratta di una potenza simbolica (boh!)... A quanto pare non sono riuscito a decifrarla correttamente in quanto non mi sembra di ottenere risultati sensati.
Ad esempio: scrivere la formula di Taylor del 3° ordine centrata in (0, 0) delle funzioni:
$(2+xy^{2})^{-1}$ (mi risulta 1/2, assurdo!)
$log(1+x+y+xy)$
$x^{2}cos(xz)y^{2}$
Tralasciando il fatto che, a meno di errori, tutte le derivate non miste sono abbastanza complesse e SI ANNULLANO in (0, 0), ho provato a farlo con Derive, ma il programma mi chiede di indicare rispetto a quale variabile effettuare lo sviluppo. A quanto ho capito, lo sviluppo in serie di Taylor non è rispetto a una variabile...
Le mie domande sono le seguenti:
1) nella formula dello sviluppo di una funzione scalare del secondo ordine, ci sono derivate miste o devo fare il prodotto derivata rispetto a x derivata rispetto a y? Cioè è:
$f(P) = f(x_{0},y_{0}) + f_{x} + f_{y}+ 1/2(f_{xx}+ f_{yy}+ 2f_{xy})+ R(x, y)$
(dove le derivate parziali sono calcolate nel punto centro dello sviluppo)
oppure:
$f(P) = f(x_{0},y_{0}) + f_{x} + f_{y}+ 1/2( f_{xx}+ f_{yy}+ 2f_{x}f_{y})+ R(x, y)$
2) Qualcuno può gentilmente risolvermi uno (o più) degli esercizi proposti indicando tutti i passaggi?
3) Curiosità nella curiosità: e se avessi una funzione vettoriale? Che tipo di vettori otterrei?
4) Principalmente rivolto a mathmum, che spero in questi due mesi non abbia perso il suo "tocco" per i link utili
, ma aperto a chiunque: avete dei link di siti che trattino l'argomento con esempi e quant'altro? Io ho trovato alcune dispense di un americano che insegna a Roma e altri esercizi, purtroppo senza soluzioni...Grazie a tutti per l'attenzione, e, ovviamente, buona Pasqua!
Miniatura - Museo della Certosa di Serra San Bruno
ZioGiò
svolto contenente uno sviluppino di taylor in 2 variabili. E' un file postscript, quindi attrezzati di conseguenza!